Question

在数列{a_n}中，如果存在非零的常数T，使a_n+T=a_n，对于任意正整数n均成立，就称数列{a_n}为周期函数，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+2=|x_n+1-x_n|（x∈N^*），x₁=1，x₂=a．
①若a=0，则数列{x_n}的周期为3．
②若数列{x_n}的周期为3，则a=0．
③若数列{a_n}的前n项和为S_n，且周期为3，则S_3n=2n（n为常数）
④若a=3，则数列{x_n}的周期为4；
⑤若a=2，则数列{x_n}前2014项的和为1345．
则这五个命题中真命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|（x∈N^*），对①②③④⑤五个选项逐一判断即可得到答案．

解答： 解：∵x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，
①若a=0，则x₃=|0-1|=1，又数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=|x₃-x₂|=|1-0|=x₁=1，
同理可求x₅=0，x₆=1，
∴数列{x_n}为1，0，1，1，0，1，1，0，1，…
∴数列{x_n}的周期为3，正确；
②∵x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，又数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，故②错误；
③由②知a=1或a=0，
若a=0，由①知，数列{x_n}为1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
∴x₁+x₂+x₃=x₄+x₅+x₆=x₇+x₈+x₉=…=x_3n-2+x_3n-1+x_3n=2，
∴S_3n=2n；
若a=1，则x₁=x_3n-2=1，x₂=x_3n-1=1，x₃=x_3n=0，
∴S_3n=2n；
综上所述，S_3n=2n，故③正确；
④若a=3，则x₂=a=3，x₃=|x₂-x₁|=|3-1|=2，x₄=|x₃-x₂|=|2-3|=1，
同理可求x₅=1，x₆=0，x₁≠x₅，故④错误；
⑤若a=2，则x₂=a=2，x₃=|x₂-x₁|=|2-1|=1，x₄=|x₃-x₂|=|1-2|=1，
同理可求x₅=0，x₆=1，x₇=1，x₈=0…，
从第四项起，为1，0，1，1，0，1，1，0，1，…函数值周期出现，连续三项之和为2；
∵2014=671×3+1，
∴数列{x_n}前2014项的和为：（x₁+x₂+x₃）+670×2+1=1+2+1+1340+1=1345，故⑤正确．
综上所述，五个命题中真命题是①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的周期性与数列的求和，考查分类讨论思想、综合运算能力与推理能力，属于难题．