Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，向量

a

=(2，n)与

b

=(n+1，Sn)，且

a

=λ

b

，λ∈R．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求{

1

anan+2

}的前n项和T_n，不等式T_n＜

3

4

loga（1-a）对任意的正整数n恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

a

=λ

b

，推导出Sn=

n(n+1)

2

，由此能求出a_n=n．
（2）由（1）知T_n=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n×(n+2)

，由此利用裂项求和法根据题设条件推导出

3

4

≤

3

4

loga(1-a)，从而能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵

a

=λ

b

，∴

a

∥

b

，
∴

2

n+1

=

n

Sn

，
∴Sn=

n(n+1)

2

，
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，
当n=1时，a₁=1成立，
∴a_n=n…（4分）
（2）Tn=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

anan+2

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n×(n+2)

=

1

2

×(1-

1

3

)+

1

2

×(

1

2

-

1

4

)+

1

2

×(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

×(

1

n-1

-

1

n+1

)+

1

2

×(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

×(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

×(

1

n+1

+

1

n+2

)，…（8分）
∵Tn＜

3

4

不等式Tn＜

3

4

loga(1-a)对任意的正整数n恒成立
∴

3

4

≤

3

4

loga(1-a)，
∴1≤log_a（1-a）…（10分）
∴

1≤loga(1-a) 0＜a＜1

，
∴log_aa≤log_a（1-a），
∴a≥1-a，∴1＞a≥

1

2

．
∴a的取值范围是[

1

2

，1）．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．