Question

已知直线C₁的方程为

x=8+tcosα y=16+tsinα

（t为参数，α∈[0，π）且α为常数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，当曲线C₁被曲线C₂截得的线段长为

2

且0＜α＜

π

3

时，求常数α的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可得x²+y²=6x+8y，可得圆心C₂，半径r．由直线C₁的方程为

x=8+tcosα y=16+tsinα

消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．利用点到直线的距离公式及其d2+(

2

2

)2=r2即可得出．

解答： 解：由曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，
∴x²+y²=6x+8y，∴（x-3）²+（y-4）²=25，可得圆心C₂（3，4），半径r=5．
由直线C₁的方程为

x=8+tcosα y=16+tsinα

消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．
∴圆心C₂（3，4）到直线C₁的距离d=

|3tanα-4+16-8tanα|

tan2α+1

=

|12-5tanα|

tan2α+1

，
∵d2+(

2

2

)2=r2，
∴(

|12-5tanα|

tan2α+1

)2=

49

2

，
化为tan²α-240tanα+239=0，
解得tanα=1或tanα=239．
∵α∈[0，π）且0＜α＜

π

3

时，
∴α=

π

4

．

点评：本题考查了把极坐标方程和参数方程分别化为直角方程及普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．