题目内容
16．某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：| 付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
| 频数 | 35 | 25 | a | 10 | b |
（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率
（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望．
分析 （ I）由题意可得：$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a，∴b=100-（35+25+a+10）．利用“二项分布”概率计算公式即可得出．
（II）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（ I）$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a=15，∴b=100-（35+25+15+10）=15．
设“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”为事件M，
P（M）=${∁}_{3}^{1}×（\frac{1}{10}）×（\frac{9}{10}）^{2}$=$\frac{243}{1000}$．
（ II）设分期付款期数为ξ，则P（ξ=1）=$\frac{7}{20}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{20}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{2}{20}$，P（ξ=5）=$\frac{3}{20}$．
X可能取值为（单位：元）：1000，1500，2000．
P（X=1000）=$\frac{7}{20}$，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=$\frac{1}{4}$．
X的分布列
| X | 1000 | 1500 | 2000 |
| P | $\frac{7}{20}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{4}$ |
点评 本题考查了统计规律、二项分布列、随机变量的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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