题目内容

16．某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：
付款方式分1期分2期分3期分4期分5期
频数3525a10b
已知分3期付款的频率为$\frac{3}{20}$，请以此100人为作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：
（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率
（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望．

分析 （ I）由题意可得：$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a，∴b=100-（35+25+a+10）．利用“二项分布”概率计算公式即可得出．
（II）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（ I）$\frac{a}{100}=\frac{3}{20}$，解得a=15，∴b=100-（35+25+15+10）=15．
设“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”为事件M，
P（M）=${∁}_{3}^{1}×（\frac{1}{10}）×（\frac{9}{10}）^{2}$=$\frac{243}{1000}$．
（ II）设分期付款期数为ξ，则P（ξ=1）=$\frac{7}{20}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{20}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{2}{20}$，P（ξ=5）=$\frac{3}{20}$．
X可能取值为（单位：元）：1000，1500，2000．
P（X=1000）=$\frac{7}{20}$，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=$\frac{1}{4}$．
X的分布列

X100015002000
P$\frac{7}{20}$$\frac{2}{5}$$\frac{1}{4}$
X的数学期望E（X）=1000×$\frac{7}{20}$+1500×$\frac{2}{5}$+2000×$\frac{1}{4}$=1450．

点评 本题考查了统计规律、二项分布列、随机变量的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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