Question

11．已知函数f（x）的导函数f′（x），当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 本题依据已知导数的特称，构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，根据g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$单调性进行判定，

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，
⇒f′（x）2sinx•cosx＜f（x）2sin²x 成立⇒f′（x）sinx-f（x）cosx＜0成立．
∴令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}＜0$⇒g′（x）＜0在（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上是单调递减的，故（$\frac{π}{4}$）$＞g（\frac{π}{3}）$⇒$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）．
故选B．

点评 本题考查了构造抽象函数，利用抽象函数的导数，处理函数不等式问题，属于中档题．