Question

7．符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题：（1）函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；
（2）方程{x}=$\frac{1}{2}$有无数个解；
（3）函数{x}是增函数；
（4）函数{x}具有奇偶性．
其中正确的命题有（2）．

Answer 1

分析 利用[x]的定义，结合函数的定义域，值域奇偶性和单调性的定义分别进行判断．由奇偶性函数的定义证明此函数为非奇非偶函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数．

解答 解：（1）当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），故（1）错误；
（2）当x=$\frac{1}{2}$时，{x}=$\frac{1}{2}$，
又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=$\frac{1}{2}$+k时（k∈Z），{x}=$\frac{1}{2}$，故（2）正确；
（3）∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，故（3）错误；
（4）∵函数{x}的定义域为R，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函数{x}是非奇非偶函数，故（4）错误．
∴其中正确的命题有：（2）．
故答案为：（2）．

点评 本题考查新定义函数 {x}=x-[x]的意义，通过举反例来说明某个命题的正确性，是一种简单有效的方法，是中档题．