Question

14．某校高二年级共1000人，从参加期末数学考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]，然后画出如图所示频率分布直方图，但是缺失了第四组[70，80）的信息．观察图形的信息，回答下列问题．
（1）求第四组[70，80）的频率；并估计该年级分数在该段的人数．
（2）估计该年级这次数学考试的平均数．
（3）在样本中，从成绩是[50，60）和[60，70）的两段学生中任意选两人，求他们在同一分数段的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1，能求出第四组[70，80）的频率，从而能估计该年级分数在该段的人数．
（2）由频率分布直方图能估计该年级这次数学考试的平均数．
（3）在样本中，成绩在[50，60）的有3人，成绩在[60，70）的有3人，从中任取两人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，他们在同一分数段包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}$=6，由此能求出他们在同一分数段的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得第四组[70，80）的频率为：
1-（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3．
估计该年级分数在该段的人数为：0.3×1000=300（人）．
（2）估计该年级这次数学考试的平均数为：
45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.3+85×0.025×10+95×0.005×10=71（分）．
（3）在样本中，成绩在[50，60）的有0.015×10×20=3人，
成绩在[60，70）的有0.015×10×20=3人，
从中任取两人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
他们在同一分数段包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}$=6，
∴他们在同一分数段的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布直方图的性质的合理运用．