Question

4．已知AC、CE为正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别在线段AC、CE上，且使得$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{CN}=r\overrightarrow{CE}$，如果B，M，N三点共线，则r的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐标，将B，M，N三点共线转化为$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值．

解答 解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1，
则A（0，0），B（1，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
E（0，$\sqrt{3}$）），
设M的坐标为（x，y），
∵$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=r（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则x=$\frac{3}{2}r$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，即M（$\frac{3}{2}r$，$\frac{\sqrt{3}}{2}r$），
同理可求，N的坐标是（$\frac{3}{2}（1-r）$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3}{2}r-1$，$\frac{\sqrt{3}}{2}r$），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$），
∵B，M，N三点共线，
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，则（$\frac{3}{2}r-1$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}r$×（$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$）=0，
化简得，3r²=1，解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选C．

点评 本题考查了利用坐标法解决向量的问题，向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的坐标条件，考查方程思想，转化思想，建立恰当的坐标系是解题的关键．