Question

5．设函数y=f（x），若对?ε＞0，?x₀，使得当x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε，则称函数y=f（x）具有性质P．下列具有性质P的函数是（　　）

• A． y=2x
• B． y=2x+$\frac{1}{x}$
• C． y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
• D． y=2^x

Answer 1

分析 利用新定义，分别进行判断即可得出结论．

解答 解：对于A，|f（x）-x|=|x|值域是[0，+∞），故对?ε＞0，?x₀，使得当x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
对于B，|f（x）-x|=|x+$\frac{1}{x}$|值域是[2，+∞），故对?ε＞0，?x₀，使得当x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
对于C，y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$表示双曲线在x轴上方的部分，包括与x轴的交点，其渐近线为y=x，故对?ε＞0，?x₀，使得当x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε成立；
对于D，函数y=|2^x-x|图象如图所示，函数有最小值y₀，
值域是（y₀，+∞），故对?ε＞0，?x₀，使得当x＞x₀，
恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
故选C．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．