Question

20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，求直线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a+c=3，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，把根与系数的关系代入化简与△＞0联立解出即可得出．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，得a+c=3，解得c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，化为km（x₁+x₂）+（1+k²）x₁•x₂+m²=0，
∴km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化简得7m²=12+12k²．
将k²=$\frac{7}{12}{m}^{2}$-1代入3+4k²＞m²．
可得m²$＞\frac{3}{4}$，又由7m²=12+12k²≥12．
从而∴m²$≥\frac{12}{7}$，解得m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，．
所以实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{2\sqrt{21}}{7}]$∪$[\frac{2\sqrt{21}}{7}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．