Question

8．（1）解不等式：|x-1|+|x|＜4；
（2）已知a＞2，求证：?x∈R，|ax-2|+a|x-2|＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．

解答 解：（1）①当x≤0时，不等式为1-x-x＜4，即x＞-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜x≤0是不等式的解，
②当0＜x≤1时，不等式为1-x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解．
③当x＞1时，不等式为x-1+x＜4，即x＜$\frac{5}{2}$，∴1＜x＜$\frac{5}{2}$是不等式的解．
综上所述，不等式的解集为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
（2）证明：∵a＞2，|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|＞2，
∴?x∈R，|ax-2|+a|x-2|＞2恒成立．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．