Question

平面直角坐标系有两点P（1，cosx），Q（cosx，1），其中x∈[-

π

4

，

π

4

]；
（1）求向量

OP

和

OQ

的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求题（1）中f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由已知求出向量

OP

和

OQ

的坐标，代入cosθ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

求出f（x）；
（2）由（1）可求得f(x)=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

由x的范围可求cosθ的范围，结合函数的单调性即可求cosθ的最小值．

解答： 解：（1）由于

OP

•

OQ

=2cosx…（2分）
|

OP

|•|

OQ

|=1+cos2x…（4分）
∴cosθ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=f(x)…（6分）
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴cosx∈[

2

2

，1]
f(x)=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

令g(x)=x+

1

x

…（8分）
设x₁，x2∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(

x1x2-1

x1x2

)＜0
∴g(x)=x+

1

x

在[

2

2

，1]上是减函数．        …（10分）
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3 2

2

2 2

3

≤f(x)≤1
即f（x）的值域是[

2 2

3

，1]．            …（12分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示，向量与 三角函数及函数的单调性等知识的综合应用．