Question

已知：sin²45°+sin²105°+sin²165°=

3

2

；sin²10°+sin²70°+sin²130°=

3

2

，
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明你的结论．

Answer 1

考点：归纳推理,三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：首先观察两等式的规律，猜测一般性的命题，然后用二倍角的正弦公式化简即可证明．

解答： 解：一般形式为：sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=

3

2

证明：左边=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]=

3

2

=右边
∴原式得证
（将一般形式写成sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=

3

2

，sin2(α-240°)+sin2(α-120°)+sin2α=

3

2

等均正确．）

点评：本题主要考察了三角函数恒等式的证明，归纳推理的方法，属于基础题．