Question

定义在R的减函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），对于任意的x∈R，总有f（x）＞0，且f（1）=

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2

，则使f（a）＞4成立a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令y=0，由条件即可得到f（0）=1，由于f（1）=

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2

，则可得到f（-1）=2，即有f（-2）=f（-1）•f（-1）=4，f（a）＞4即为f（a）＞f（-2），再由单调性即可得到a的范围．

解答： 解：由于f（x+y）=f（x）•f（y），
令y=0，则f（x）=f（x）•f（0），
由于任意的x∈R，总有f（x）＞0，
则f（0）=1，
由于f（1）=

1

2

，
则f（0）=f（1-1）=f（1）•f（-1）=1，
即有f（-1）=2，
则f（-2）=f（-1）•f（-1）=4，
即有f（a）＞4即为f（a）＞f（-2），
再由f（x）是定义在R的减函数，
则a＜-2．
故答案为：（-∞，-2）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．