Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-2bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（1）求出方程f（x）=0有两相等实根的等价条件，利用古典概型的概率公式，即可得到结论．
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：（1）若方程f（x）=0有两相等实根，则△=4b²-4a=0，即a=b²，
当a=1，b=±1，即满足条件的有2个，
则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有两相等实根的概率为：

2

3×5

=

2

15

．
（2）∵a＞0，
∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=

b

a

≤1，即b≤a，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（8，0），B（0，8），C（4，4），
则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为

S△OAC

S△AOB

=

1

2

．

点评：本题主要考查概率的计算，根据古典关系和几何概型的概率公式是解决本题的关键．