题目内容

已知在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA=
6
（ccosB+bcosC）
（1）求tan2A的值；  
（2）若sin（
π
2
+B）=
2
2
3
，c=2
2
，求△ABC的面积．
考点：正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）将已知等式3acosA=
6
（ccosB+bcosC）化简得3sinAcosA=
6
sinA，从而得到cosA=
6
3
，利用同角三角函数基本关系即可求出tanA的值，再利用二倍角公式得到tan2A的值．
（2）首先利用已知条件得到sinB=
1
3
，再根据正弦定理求出sinC及a的值，进而可得到△ABC的面积．
解答： 解：（1）∵3acosA=
6
（ccosB+bcosC）
∴3sinAcosA=
6
(sinCcosB+sinBcosC)3sinAcosA=
6
sinA
又∵sinA≠0，∴cosA=
6
3
，
∵A∈（0，
π
2
），∴sinA=
3
3
．
则tanA=
2
2
．∴tan2A=
2tanA
1-tan2A
=2
2
．
（2）由sin（
π
2
+B）=
2
2
3
，得cosB=
2
2
3
，
又∵B∈（0，π），∴sinB=
1
3
．
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
6
3
．
由正弦定理知a=
csinA
sinC
=2，
∴△ABC的面积为  S=
1
2
acsinB=
2
2
3
．
点评：本题考查同角三角函数基本关系，正弦定理的应用等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若△ABC中，已知∠A：∠B=1：3，∠C的角平分线平分三角形面积为5：2，则sinA=
 
．
如果执行如图的程序框图，若输出的s=55，则k=（　　）
A、8B、9C、10D、9或10
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-2bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-2bx+1．
（1）设集合P={1，2}，Q={-1，1，2，3}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为e=
3
2
且与双曲线C2：
x2
b2
-
y2
b2+1
=1有共同焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足
AB
⊥
BC
，
AD
∥
OC
，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．
已知a∈R，设函数g（x）=lg2x-2algx+4，x∈[
1
10
，+∞） 的最小值为h（a）
（Ⅰ）求h（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在区间[m，n]，使得函数h（a）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线x2=2py（p＞0）经过点（
2
，
1
2
），直线l的方程为y=-1．
（1）求p的值；
（2）若点M是直线l上任意一点，过M点作抛物线的两条切线，切点分别为于A，B两点，设线段AB的中点为N，求点N的轨迹方程．
设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，A为抛物线上一点，AK⊥l，K为垂足，如果直线KF的斜率为-1，则△AKF的面积为
 
．

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