Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x2，若对于?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数的几何意义,导数的运算

专题：函数思想,导数的概念及应用

分析：解法一，假设x₁＜x₂，把

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4化为f（x₁）-f（x₂）＜4（x₁-x₂），构造函数g（x）=f（x）-4x，
利用g（x）的导数g'（x）＞0，求出a的取值范围．
解法二：根据题意，得出f（x）的导数f′（x）＞4，求出a的取值范围．

解答： 解：解法一，任取x₁、x₂∈（0，+∞），
且x₁＜x₂，
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4，
f（x₁）-f（x₂）＜4（x₁-x₂），
构造函数g（x）=f（x）-4x，
∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，
∴g'（x）=f′（x）-4=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

-4＞0；
即

a

x

+x-4＞0；
∴a＞（4-x）x，
设函数t=4x-x²=-（x-2）²+4≤4，
∴a＞4；
∴a的取值范围是（4，+∞）．
解法二：根据题意，f（x）=alnx+

1

2

x2，其中x＞0，
∴f′（x）=

a

x

+x=

a+x2

x

＞4，
∴a+x²＞4x，
即a＞4x-x²=4-（x-2）²；
∵4-（x-2）²≤4，当且仅当x=2时，取“=”，
∴a＞4；
∴a的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．

点评：本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时应根据导数的概念，化为f′（x）＞4，
从而使问题得以解答．