Question

18．已知函数f（x）满足f（4+x）=f（-x）．当x₁，x₂∈（-∞，2）时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0；当x₁，x₂∈（2，+∞）时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则f（x₁），f（x₂）的大小关系是（　　）

• A． f（x₁）＜f（x₂）
• B． f（x₁）＞f（x₂）
• C． f（x₁）=f（x₂）
• D． 不确定

Answer 1

分析 根据条件判断函数的对称性和单调性，利用分类讨论进行判断即可．

解答 解：∵f（4+x）=f（-x）．
∴函数关于x=2对称，
∵当x₁，x₂∈（-∞，2）时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0此时函数递增；
当x₁，x₂∈（2，+∞）时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，此时函数递减．
∵x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，
∴若2＜x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂），
若x₁＜2＜x₂，
由x₁+x₂＞4，得x₂＞4-x₁，
∵x₁＜2，∴-x₁＞-2，则4-x₁＞2，
则f（x₂）＞f（4-x₁），
∵f（4+x）=f（-x）．
∴f（4-x）=f（x），即f（4-x₁）=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（4-x₁）=f（x₁），
综上所述，f（x₁）＞f（x₂），
故选：B．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的对称性和单调性的关系是解决本题的关键．