Question

8．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=1，DE=5．
（1）求棱锥C-ADE的体积；
（2）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（3）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中，AE，可得S_△ADE．由于CD⊥平面ADE，可得V_C-ADE=$\frac{1}{3}$CD•S△ADE．
（2）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；
（3）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{6}$．设F为线段DE上一点，且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{6}$．过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE．

解答 解：（1）在Rt△ADE中，$AE=\sqrt{A{D^2}-D{E^2}}=3\sqrt{11}$，
∵CD⊥平面ADE，
∴棱锥C-ADE的体积为：${V_{C-ADE}}=\frac{1}{3}{S_{△ADE}}•CD=\frac{1}{3}•\frac{AE•DE}{2}•CD=3\sqrt{11}$；…（4分）
（2）∵CD⊥平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥AE，
又∵AE⊥DE，CD∩DE=D，
∴AE⊥平面CDE，
又∵AE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面CDE；…（8分）
（3）结论：在线段DE上存在一点F，且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{6}$，使AF∥平面BCE，
设F为线段DE上一点，且$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{6}$，过点F作FM∥CD交CE于M，则$FM=\frac{1}{6}CD$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB，
又∵CD=6AB，
∴MF=AB，FM∥AB，
∴四边形ABMF是平行四边形，则AF∥BM，
又∵AF?平面BCE，BM?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（12分）

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．