Question

5．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，点Q，R分别是CD，PD中点．
（1）求证：AR⊥平面PCQ；
（2）若M是BC中点，N在PB上，且PN=3NB，求证：MN∥平面PAQ．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CD，AD⊥CD，进而CD⊥平面PAD，CD⊥AR，由此能证明AR⊥平面PCD．
（2）过N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，连结MF，过C作CE∥AQ，交AB于E，从而NF∥PA，MF∥AQ，进而平面MNF∥平面PAD，由此能证明MN∥平面PAQ．

解答 证明：（1）∵PA=AD，点Q是PD中点，∴AR⊥PD，
∵底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AR?平面PAD，∴CD⊥AR，
∵PD∩CD=D，∴AR⊥平面PCD．
（2）过N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，连结MF，过C作CE∥AQ，交AB于E，
∵PA⊥平面ABCD，∴NF∥PA，∵Q是CD中点，PN=3NB，
∴MF∥AQ，∵NF∩MF=F，PA∩AQ=A，
∴平面MNF∥平面PAD，
∵MN?平面MNF，∴MN∥平面PAQ．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．