Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，O为AC与BD的交点．求证：
（1）A₁O⊥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面AA₁C．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．再用勾股定理证明A₁O⊥OF，这样，A₁O就垂直于平面BFD内的两条相交直线，故A₁O⊥平面MBF．
（2）证明BD⊥AO，A₁A⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面A₁AO，从而证得平面BDF⊥平面AA₁C．

解答 证明：（1）连接FO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠FOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠AA₁O=∠FOC，
则∠A₁OA+∠FOC=90°．∴A₁O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A₁O⊥平面BDF．
（2）∵O为AC与BD的交点，∴BD⊥AO．再由A₁A⊥平面ABCD可得 A₁A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A₁AC中的两条相交直线AO和A₁A，∴BD⊥平面A₁AC．
而BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面A₁AC．

点评 本题考查证明直线和平面垂直的方法，在其中一个平面内找出2条相交直线和另一个平面垂直．