Question

5．设a，b∈R，定义运算：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，若x＞0，y＞0，则（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）*（x+y）的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用新定义及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：x＞0，y＞0，则（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）*（x+y）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}，\frac{1}{x}+\frac{4}{y}≥x+y}\\{x+y，\frac{1}{x}+\frac{4}{y}＜x+y}\end{array}\right.$．
∵（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=5+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，当且仅当y=2x＞0时取等号．
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）*（x+y）的最小值是3．
故选：D．

点评 本题考查了新定义、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．