题目内容
直线l过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，求直线方程．
考点：抛物线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：因为点（2，4）在抛物线y2=8x上，所以过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点有两种情况：过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切或过点（2，4）且平行与对称轴．由此能求出直线方程．
解答：
解：∵点（2，4）在抛物线y2=8x上，
∴过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是：
i）过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切，
此时设直线方程为：y=k（x-2）+4，
代入抛物线，得：[k（x-2）+4]2=8x，
整理，得：k2x2+（8k-4k2-8）x+4k2-16k+16=0，
∵方程只有一个根，∴x1=x2=2，
∴
=4，解得k=1，
∴直线方程为：y=x+2，即x-y+2=0．
ii）过点（2，4）且平行与对称轴．
此时直线方程为y=4．
综上所述，满足条件的直线方程为：x-y+2=0或y=4．
∴过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是：
i）过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切，
此时设直线方程为：y=k（x-2）+4，
代入抛物线，得：[k（x-2）+4]2=8x，
整理，得：k2x2+（8k-4k2-8）x+4k2-16k+16=0，
∵方程只有一个根，∴x1=x2=2，
∴
| 4k2-8k+8 |
| k2 |
∴直线方程为：y=x+2，即x-y+2=0．
ii）过点（2，4）且平行与对称轴．
此时直线方程为y=4．
综上所述，满足条件的直线方程为：x-y+2=0或y=4．
点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．
练习册系列答案
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