Question

已知向量

a

=(2sinx，sinx-cosx)，

b

=(cosx，

3

(cosx+sinx))，函数f(x)=

a

•

b

+1
（1）当x∈(

π

4

，

π

2

)时，求f（x）的值域；并求其对称中心．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若将f（x）向左平移

π

4

个单位，且b=5，f(

B

2

)=3，求△ABC面积最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）求出函数f（x）的表达式，即可求出函数的值域和对称中心．
（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵

π

4

＜x＜

π

2

，
∴

π

2

＜2x＜π，
∴

π

6

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，
∴

1

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1，
∴1＜2sin（2x-

π

3

）≤2，
于是2＜2sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴f（x）的值域为（2，3]，
对称中心(

kπ

2

+

π

6

，1)．
（2）f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1平移后f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵f(

B

2

)=3，
∴2sin(B+

π

6

)+1=3，
∴sin(B+

π

6

)=1，B=

π

3

．
据余弦定理a²+c²-ac=25≥ac，
∴ac≤25，
∴s△=

3

4

ac≤

25 3

4

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力．