Question

3．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（　　）

• A． sinA＞sinB
• B． cosA＞cosB
• C． sinA＞cosB
• D． cosA＞sinB

Answer 1

分析 由三角形ABC为锐角三角形，得到C为锐角，根据三角形的内角和定理可得A+B＞$\frac{π}{2}$，移项得到A＞$\frac{π}{2}$-B，且A与$\frac{π}{2}$-B都为锐角，
A、根据正弦定理可得只有当a＞b时，sinA＞sinB，而原题没有此条件，故本选项不一定成立．
B、由余弦函数的单调性即可得解；
C、由正弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，得到sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B），利用诱导公式化简可得sinA＞cosB，本选项正确；
D、由余弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，得到cosA＜cos（$\frac{π}{2}$-B），利用诱导公式化简可得cosA＜sinB，本选项错误；

解答 解：锐角△ABC中，C为锐角，
∴A+B＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
A、根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：当a＞b时，sinA＞sinB，本选项不一定成立，
B、A，B为锐角，由A＜B可得cosA＞cosB，本选项不一定成立，
C、正弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，本选项正确；
D、余弦函数在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，cosA＜cos（$\frac{π}{2}$-B）=sinB，本选项错误；
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出A＞$\frac{π}{2}$-B解题的关键．