函数f(x)在[a.b]上有定义.若对任意x1.x2∈[a.b].有f($\frac{{x} {1}+{x} {2}}{2}$)≤$\frac{1}{2}$[f(x1)+f(x2)].则称f(x)在[a.b]上具有性质P．设f(x)在[1.3]上具有性质P.现给出如下题:①f(x)在[1.3]上的图象时连续不断的 ②f(x)在[1.$\sqrt{3}$]上具有性质P③若f(x)在x=2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下题：
①f（x）在[1，3]上的图象时连续不断的
②f（x）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质P
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]
④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命题的序号③④．

分析根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．

解答解：在①中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{2}^{x}}，1≤x＜3\\ 2，x=3\end{array}\right.$在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{3}$]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（$\frac{x+4-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（x）+f（4-x）≥2\\{f（x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\\{f（4-x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\end{array}\right.$，
故f（x）=1，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（$\frac{{\frac{1}{2}（x}_{1}+{x}_{2}）+{\frac{1}{2}（x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）
≤$\frac{1}{2}$[f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
≤[$\frac{1}{2}$（f（x₁）+f（x₂））+$\frac{1}{2}$（f（x₃）+f（x₄））]
=$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故答案为：③④．