Question

17．如图，在空间四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB．
求证：（1）平面DBC⊥平面DAB；
（2）平面ADC⊥平面AEF．

Answer 1

分析 根据要证明平面与平面垂直，只需要证线面垂直，要证线面垂直，需要证明线垂直面内的两条相交直线．

解答 证明：（1）∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴DA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AD=A
∴BC⊥平面ABD，
∵BC?平面DBC，
∴平面DBC⊥平面DAB；
（2）∵BC⊥平面ABD，
又AF?平面ABD，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥DB，BC∩BD=B，
∴AF⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴AF⊥CD，
∵AE⊥CD，AF∩AE=A
∴CD⊥平面AEF，
∵CD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面AEF．

点评 本题主要考查面面垂直和线面垂直的判定，关键是它们之间的转化，属于中档题．