Question

14．给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空．
③当x＞1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2   
④“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题．
其中真命题③④．

Answer 1

分析 ①可得￢p：?x∈R，sinx＞1，即可判断出真假．
②由于|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）=1，即可判断出真假．
③当x＞1时，lnx＞0，利用基本不等式的性质即可判断出真假．
④原命题的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，在△ABC中，若A＞B，利用正弦定理即可判断出真假．

解答 解：①命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，因此是假命题．
②∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）=1，∴当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为空集，因此为假命题．
③当x＞1时，lnx＞0，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2$\sqrt{lnx•\frac{1}{lnx}}$=2，当且仅当lnx=1，即x=e时取等号，为真命题．
④“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，在△ABC中，若A＞B，由正弦定理可得：a＞b，可得sinA＞sinB，因此为真命题．
其中真命题为③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、基本不等式的性质、正弦定理、绝对值函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．