题目内容

9．已知函数f（x）=${x^{\frac{1}{2}}}$，给出下列结论：
①若x＞1，则f（x）＞1；
②若0＜x1＜x2，则f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
③若0＜x1＜x2，则x2f（x1）＜x1f（x2）；
④若0＜x1＜x2，则$\frac{f（x_1）+f（x_2）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①②B．①④C．②③D．③④

分析 逐项判断．①由幂函数的性质易得；②构造函数y=f（x）-x，再判断其单调性可解；③构造函数$y=\frac{f（x）}{x}$，利用其单调性易得；④利用分析法即可判断．

解答 解：①由幂函数的性质可知，函数$f（x）={x}^{\frac{1}{2}}$在（1，+∞）上为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=1，故①正确；
②设g（x）=f（x）-x=${x}^{\frac{1}{2}}-x$，则$g′（x）=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$，所以当x$∈（0，\frac{1}{4}）$时g′（x）＞0，当$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$，g′（x）＜0，即函数在x$∈（0，\frac{1}{4}）$上递增，在$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$上递减，所以当$\frac{1}{4}＜{x}_{1}＜{x}_{2}$时，g（x2）＜g（x1），即f（x2）-x2＜f（x1）-x1，即f（x2）-f（x1）＜x2-x1，故②错误；
③设h（x）=$\frac{f（x）}{x}={x}^{-\frac{1}{2}}$，由幂函数的性质知h（x）为减函数，故当x1＜x2时，有h（x1）＞h（x2），即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，即f（x1）x2＞f（x2）x1，故③错误；④要证明$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$，即证$\frac{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}{2}$＜$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，即只需证$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}{4}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，即只需证x1x2＞$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，显然成立，故④正确．
综上，正确序号为①④．
故选：B．

点评 本题注意考查函数单调性的运用．对②③，利用不等式特点构造函数是解题关键．属于中档题．

练习册系列答案
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