Question

3．已知直线x-y+1=0上有两点A，B，且AB=2，动点P在抛物线y²=2x上，则△PAB面积的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 通过三角形的面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时面积最小，求出与直线x-y+1=0平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用面积公式计算即得结论．

解答 解：设与直线x-y+1=0平行且与抛物线相切的直线l方程为：x-y-t=0，
联立直线l与抛物线方程，消去y得：y²-2y-2t=0，
则△=4+8t=0，即t=-$\frac{1}{2}$，
∵直线x-y+1=0与直线l之间的距离d=$\frac{|1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴S_min=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}•2•$$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，属于中档题．