Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n与a_n-1的关系，利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）
即：

an

an-1

=2，∴数列{a_n}为以2为公比的等比数列，
∴an=2n．
（Ⅱ）∵bn=2n•log22n+1=(n+1)•2n，
∴

Tn=2×2+3×22+…+n•2n-1+(n+1)•2n 2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1

两式相减，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=-n•2n+1，
∴Tn=n•2n+1．

点评：本题考查了利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．