Question

某科研所为进一步改良某种植物品种，对该植物的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验，选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．
（1）若n=2，求植物的品种A恰好在同一大片水塘种植的概率；
（2）若n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个，
满足条件的事件是植物的品种A恰好在同一大片水塘，根据古典概型概率公式得到结果．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2．
第二大块地中的两小块地编号为3，4
令事件A=“植物的品种A恰好在同一大片水塘种植”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个
（1，2），（1，3），（1.4），（2，3），（2，4），（3，4）
而事件A包含2个基本事件：（1，2），（3，4）
∴P（A）=

1

3

；
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=

1

C 4 8

 =

1

70

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

  =

16

70

，
P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

  =

36

70

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 1 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=4)=

1

C 4 8

 =

1

70

，
即ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 70	16 70	36 70	16 70	1 70

故ξ的数学期望为E(ξ)=0×

1

70

+1×

16

70

+2×

36

70

+3×

16

70

+4×

1

70

=2

点评：本题考查古典概型的概率公式，考查利用列举法得到事件数，考查两组数据的平均数和方差的大小比较，考查平均数和方差的意义，是一个比较简单的综合题目．