题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，| 3 |
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使(
| OA |
| OP |
| CM |
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：（1）由题意求得
、
的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜
，
＞=
，运算求得结果．
（2）设P(t，
)，其中1≤t≤5，由(
-λ
)⊥
，得(
-λ
)•
=0，可得（2t-3）λ=12．再根据t∈[1，
）∪（
，5]，求得实数λ的取值范围．
| CM |
| CO |
| CO |
| CM |
| ||||
|
|
（2）设P(t，
| 3 |
| OA |
| OP |
| CM |
| OA |
| OP |
| CM |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：
解：（1）由题意可得
=(6，0)，
=(1，
)，
=
=(3，0)，
=(2，-
)，
=(-1，-
)，
故cos∠OCM=cos＜
，
＞=
=
．
（2）设P(t，
)，其中1≤t≤5，λ
=(λt，
λ)，
-λ
=(6-λt，-
λ)，
=(2，-
)．
若(
-λ
)⊥
，
则(
-λ
)•
=0，
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=
，则λ不存在，
若t≠
，则λ=
，
∵t∈[1，
）∪（
，5]，
故λ∈(-∞，-12]∪[
，+∞)．
| OA |
| OC |
| 3 |
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| CM |
| 3 |
| CO |
| 3 |
故cos∠OCM=cos＜
| CO |
| CM |
| ||||
|
|
| ||
| 14 |
（2）设P(t，
| 3 |
| OP |
| 3 |
| OA |
| OP |
| 3 |
| CM |
| 3 |
若(
| OA |
| OP |
| CM |
则(
| OA |
| OP |
| CM |
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=
| 3 |
| 2 |
若t≠
| 3 |
| 2 |
| 12 |
| 2t-3 |
∵t∈[1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故λ∈(-∞，-12]∪[
| 12 |
| 7 |
点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
一个几何体的三视图是两个边长为2的正方形和一个圆，如图所示．则此几何体的表面积为（ ）| A、4π | B、5π | C、6π | D、8π |
若一元二次方程x2+x+a+1=0有一个正根和一个负根，则a取值范围是（ ）
| A、a＜0 | B、a＞0 |
| C、a＜-1 | D、a＞1 |
三个数a=log53，b=log3
，c=3
大小的顺序是（ ）
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、c＞b＞a |
| D、c＞a＞b |