Question

记S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n+a_n=2n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n-2}是等比数列；
（2）求和：S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式S_n+a_n=2n+1得到S_n-1+a_n-1=2n-1（n≥2），两式作差后，即可证明数列{a_n-2}是等比数列；
（2）由等比数列的通项公式求得通项，再分组求和即可．

解答： （1）证明：由S_n+a_n=2n+1①
得S_n-1+a_n-1=2n-1（n≥2）②
①-②得：2a_n-a_n-1=2，
∴a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）
n=1时，S₁+a₁=3，∴a₁=

3

2

，
∴数列{a_n-2}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，a_n-2=

1

2

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=2-

1

2n

，
∴S_n=

1

2n

+2n-1，
∴S₁+S₂+…+S_n=（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）+2（1+2+…+n）-n=1-

1

2n

+n²．

点评：本题考查数列的递推式，考查了a_n=pa_n-1+q型递推式的通项公式的求法，关键是构造出新的等比数列，是中档题．