Question

如图，在△OAB中，OA=4，OB=2，∠AOB=

2π

3

，点P是线段OA和OB的垂直平分线的交点，记

OP

=x

OA

+y

OB

，则x+y的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  4

  3

• C、

  7

  4

• D、

  13

  6

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，A（4，0），B（-1，

3

），F(-

1

2

，

3

2

)．设P（2，m），

PF

=(-

5

2

，

3

2

-m)．利用

PF

⊥

OB

，

PF

•

OB

=0，可得m．再利用向量坐标运算即可得出．

解答： 解：如图所示，
A（4，0），B（-1，

3

），F(-

1

2

，

3

2

)．
设P（2，m），

PF

=(-

5

2

，

3

2

-m)．
∵

PF

⊥

OB

，
∴

PF

•

OB

=

5

2

+

3

(

3

2

-m)=0，
解得m=

4 3

3

．
∵

OP

=x

OA

+y

OB

，
∴(2，

4 3

3

)=（4x-y，

3

y），
∴4x-y=2，

3

y=

4 3

3

，
解得y=

4

3

，x=

5

6

．
∴x+y=

13

6

．
故选：D．

点评：本题考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算、线段的垂直平分线的性质，属于中档题．