Question

己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；
（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；
（Ⅲ）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得y0=

3k

3+4k2

=

1

3 k +4k

，利用基本不等式，即可求y的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，b²=a²-c²=3，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                            （3分）
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x-1．
由

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

得7x²-8x-8=0，x1+x2=

8

7

，  x1x2=-

8

7

，
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

24

7

．                                       （7分）
（Ⅲ）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

．
所以x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=

-3k

3+4k2

线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
在上述方程中令x=0，得y0=

3k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．
当k＜0时，

3

k

+4k≤-4

3

；当k＞0时，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y0＜0，或0＜y0≤

3

12

．
综上，y₀的取值范围是[-

3

12

，

3

12

]．                                     （10分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．