Question

给定下列四个命题：
①“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题为真命题；
②命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件；
③若loga

2

3

＜1，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜

2

3

；
④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为

π

4

其中为假命题的是

 

 （填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①写出原命题的否命题后判断真假，从而判断命题①；
②由复合命题的真值表判断p、q的真假，然后看“p∨q”与“p∧q”相互推出情况；
③直接求解对数不等式判断命题③的真假；
④由几何概型可知，满足x²+y²≥1的概率是圆x²+y²=1外、边长为2的正方形内的图形的面积与正方形的面积比．求出概率加以判断．

解答： 解：对于①，“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题为“若a≤1或b≤1，则a+b≤2”，为假命题；
对于②，命题“p∨q为真”，则p或q中至少一个为真，命题“p∧q不一定为真”；
命题“p∧q为真”，则p、q均为真，“p∨q为真”．
∴命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，命题②是真命题；
对于③，由loga

2

3

＜1，当a＞1时不等式成立，
当0＜a＜1时，loga

2

3

＜1?

0＜a＜1 a＜ 2 3

，即0＜a＜

2

3

．
∴a＞1或0＜a＜

2

3

．命题③为真；
对于④，如图，

若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为

4-π

4

=1-

π

4

．
命题④错误．
∴假命题是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了对数不等式的解法，训练了几何概型概率的求法，关键是注意测度比为面积比，是中档题．