Question

15．在某次问卷调查中，有a，b两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a题的概率均为$\frac{2}{3}$，选做b题的概率均为$\frac{1}{3}$．
（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；
（2）设这4名受访者中选做b题的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“甲选做第a题”，事件B表示“乙选做第a题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“$AB+\overline A\overline B$”，且事件A、B相互独立．然后求解概率即可．
（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～$B（4，\frac{1}{3}）$，求出概率，得到变量ξ的分布，然后求解期望即可．

解答 解：（1）设事件A表示“甲选做第a题”，事件B表示“乙选做第a题”，
则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“$AB+\overline A\overline B$”，且事件A、B相互独立．
所以$P（AB+\overline A\overline B）=P（A）P（B）+P（\overline A）P（\overline B）$=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$…（5分）
答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率$\frac{5}{9}$…（6分）
（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～$B（4，\frac{1}{3}）$．…（8分）
所以$P（ξ=k）=C_4^k{（\frac{1}{3}）^k}{（1-\frac{1}{3}）^{4-k}}=C_4^k{（\frac{1}{3}）^k}{（\frac{2}{3}）^{4-k}}_{\;}^{\;}（k=0，1，2，3，4）$，…（10分）
所以变量ξ的分布表为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

…（12分）
所以$Eξ=0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{24}{81}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}=\frac{4}{3}$（或$Eξ=np=4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$）…（14分）

点评 本题考查独立重复试验概率的求法，分布列以及期望的求法，考查计算能力．