Question

4．已知函数f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则满足f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）的x₀的取值范围为[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 先充分考虑函数f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的性质，为偶函数，其图象关于y轴对称，故考虑函数[0，$\frac{π}{2}$]区间上的情形，利用导数可得函数在[0，$\frac{π}{2}$]单调递增，再结合f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）和对称性即可得x₀的取值范围．

解答 解：注意到函数f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]是偶函数，
故只需考虑[0，$\frac{π}{2}$]区间上的情形．
 当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）=2x+sinx≥0，
∴函数在[0，$\frac{π}{2}$]单调递增，
所以f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的解集为（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
结合函数是偶函数，图象关于y轴对称，
得原问题中x₀取值范围是[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案为：[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 这是一个常见考型，应引起足够重视．填写答案时，应注意区间的闭、开问题，注意规范答题，否则将可能因为表述问题而失去已到手的分．