Question

6．给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y种不同的染色方法，那么y-x的值为348．

Answer 1

分析 如果有5种颜色可供使用，首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即B与D同色、B与D不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．同理可求如果有4种颜色可供使用，即可求出y-x种．

解答 解：设四棱锥为P-ABCD．如果有5种颜色可供使用，
下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论，
（1）P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，
B与D同色：D：1，C：C₃¹．
（2）P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，
B与D不同色：D：C₂¹，C：C₂¹．
共有C₅¹•C₄¹•C₃¹•1•C₃¹+C₅¹•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹=420．
则y=420种，
如果有4种颜色可供使用，
下面分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，
（1）P的着色方法种数为C₄¹，A的着色方法种数为C₃¹，B的着色方法种数为C₂¹，
C与A同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C₂¹．
（2）P的着色方法种数为C₄¹，A的着色方法种数为C₃¹，B的着色方法种数为C₂¹，
C与A不同色时C的着色方法种数为C₁¹，D的着色方法种数为C₁¹．
共有C₄¹•C₃¹．2•C₂¹+C₄¹•C₃¹•2=48+24=72种结果．
则x=72种，
故y-x=420-72=348，
故答案为：348

点评 本题同一道理科高考题目类似，那是一道给花园土地选不同的花色的题目，同学们可以比较，总结此类问题的做法，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．