Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$（{a+b+c}）（{sinA+sinB-sinC}）=（{2+\sqrt{3}}）asinB$．
（1）求角C的大小；
（2）若b=8，c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）正弦定理和余弦定理，即可求出角C的大小；
（2）由b=8，c=5，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，求出a的值，再求△ABC的面积．

解答 解：（1）△ABC中，$（{a+b+c}）（{sinA+sinB-sinC}）=（{2+\sqrt{3}}）asinB$，
由正弦定理得，（a+b+c）（a+b-c）=（2+$\sqrt{3}$）ab，
整理得，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$；
（2）由b=8，c=5，a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
解得a=4$\sqrt{3}$+3或a=4$\sqrt{3}$-3；
当a=4$\sqrt{3}$-3时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-3）×8×$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{3}$-6，
当a=4$\sqrt{3}$+3时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$+3）×8×$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{3}$+6．
综上，△ABC的面积为8$\sqrt{3}$-6或8$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查了正弦、余弦定理和三角形的面积计算问题，是中档题．