Question

10．已知函数f（x）=ax²+（a-2）x-2，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[-1，2]，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）问题转化为方程ax²+（a-2）x-2=0有两根且分别为-1，2，得到关于a的方程，解出即可；
（2）问题转化为（x+1）（ax-2）≤0，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）因为不等式ax²+（a-2）x-2≤0的解集为[-1，2]，
所以方程ax²+（a-2）x-2=0有两根且分别为-1，2，
所以△=（a-2）²-4a•（-2）≥0且-1×2=$\frac{-2}{a}$，解得：a=1；
（2）由ax²+（a-2）x-2≤0，得（x+1）（ax-2）≤0，
当-2＜a＜0时，解集为{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥-1}，
当a=-2时，解集为R；  
当a＜-2时，解集为{x|x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．