Question

10．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BB₁，DD₁的中点，G为AE的中点且FG=3，则△EFG的面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 建立坐标系，使用向量法求出E到直线FG的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值．

解答 解：连接AC交BD于O，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
以OC，OD，OZ为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，
设OC=a，OD=b，棱柱的高为h，
则A（-a，0，0），E（0，-b，$\frac{h}{2}$），F（0，b，$\frac{h}{2}$），∴G（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$，$\frac{h}{4}$）．
$\overrightarrow{FG}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{3b}{2}$，-$\frac{h}{4}$），$\overrightarrow{FE}$=（0，-2b，0），
∴cos＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{FG}|•|\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{3{b}^{2}}{3•2b}$=$\frac{b}{2}$，
∴E到直线FG的距离d=|$\overrightarrow{FE}$|sin＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{FE}$＞=2b•$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=b$\sqrt{4-{b}^{2}}$，
∴S_△EFG=$\frac{1}{2}•FG•d$=$\frac{3}{2}b\sqrt{4-{b}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{{b}^{2}（4-{b}^{2}）}$≤$\frac{3}{2}$×$\frac{{b}^{2}+4-{b}^{2}}{2}$=3．当且仅当b²=4-b²即b²=2时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量与空间距离的计算，不等式的应用，属于中档题．