Question

12．将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减，且函数g（x）的最大负零点在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上，则φ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$）
• C． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 根据函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减，可得2•（-$\frac{π}{6}$）+2φ≥2kπ，且2•$\frac{π}{6}$+2φ≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤φ≤kπ+$\frac{π}{3}$ ①．再根据函数g（x）的最大负零点在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上，可得 $\frac{π}{4}$-φ＜0，且$\frac{π}{4}$-φ＞-$\frac{π}{6}$，求得$\frac{π}{4}$＜φ＜$\frac{5π}{12}$ ②，由①②求得φ的取值范围．

解答 解：将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）=cos（2x+2φ）的图象，
若函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减，2•（-$\frac{π}{6}$）+2φ≥2kπ，且2•$\frac{π}{6}$+2φ≤2kπ+π，k∈Z，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤φ≤kπ+$\frac{π}{3}$ ①．
令2x+2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$-φ，根据函数g（x）的最大负零点在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上，
∴$\frac{π}{4}$-φ＜0，且 $\frac{π}{4}$-φ＞-$\frac{π}{6}$，求得$\frac{π}{4}$＜φ＜$\frac{5π}{12}$ ②，
由①②求得φ的取值范围为（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性及零点，属于中档题．