Question

设f（x）=e^x+2ax-1，且f′（ln2）=2ln2
（1）求a的值；
（2）证明：当x＞0时f（x）＞x²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f'（x）=e^x+2a，得f'（ln2）=e^ln2+2a=2ln2，从而求出a的值；
（2）由（1）得f（x）=e^x+2（ln2-1）x-1令g（x）=f（x）-x²=e^x+2（ln2-1）x-1-x²由h（x）=g'（x）=e^x-2x+2（ln2-1），从而h'（x）=e^x-2，得g'（x）在（ln2，+∞）上递增；即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，于是g（x）＞g（0）=e⁰-1=0，进而e^x+2（ln2-1）x-1＞x²，

解答： 解：（1）∵f'（x）=e^x+2a
∴f'（ln2）=e^ln2+2a=2ln2，
解得a=ln2-1；
（2）由（1）得f（x）=e^x+2（ln2-1）x-1
令g（x）=f（x）-x²=e^x+2（ln2-1）x-1-x²
由h（x）=g'（x）=e^x-2x+2（ln2-1），
h'（x）=e^x-2，
令h'（x）=0，解得x=ln2
∴当x∈（0，ln2）时h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln2）上递减，
当x∈（ln2，+∞）时，h'（x）＞0，
∴g'（x）在（ln2，+∞）上递增；
∴g′(x)min=g′(ln2)=eln2-2ln2+2(ln2-1)=0
即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴g（x）在（0，+∞）上递增，
∴g（x）＞g（0）=e⁰-1=0
即e^x+2（ln2-1）x-1-x²＞0
∴e^x+2（ln2-1）x-1＞x²
即f（x）＞x²．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．