题目内容
已知函数f（x）=x3-ax2-3x，g（x）=-6x（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）时是增函数，求实数a的取值范围．
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）时是增函数，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的概念及应用
分析：（1）由题意得f′（3）=0，则a=4，从而f（x）min=f（3）=-18；f（x）max=f（1）=-6．
（2）由题意得，h′（x）=3x2-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤
(x+
)在（0，+∞）恒成立，而(x+
)min=2，从而a≤3．
（2）由题意得，h′（x）=3x2-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
解答：
解：（1）f′（x）=3x2-2ax-3，
由题意得f′（3）=0，则a=4，
当x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（3）=-18；
f（x）max=f（1）=-6．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x3-ax2+3x，
由题意得，h′（x）=3x2-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤
(x+
)在（0，+∞）恒成立，
而(x+
)min=2
∴a≤3．
由题意得f′（3）=0，则a=4，
当x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（3）=-18；
f（x）max=f（1）=-6．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x3-ax2+3x，
由题意得，h′（x）=3x2-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| x |
而(x+
| 1 |
| x |
∴a≤3．
点评：本题考察了函数的单调性，求参数的范围，导数的应用，是一道基础题．
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函数f（x）=
+3（x＞0）的最小值是（ ）
| x3+x |
| x2 |
| A、5 | |||
B、3
| |||
| C、3 | |||
| D、2 |
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=