Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，且S=

3

4

（b²+c²-a²）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）根据三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA，根据余弦定理，求出tanA，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围，法一：利用余弦定理，结合基本不等式，可求；法二：利用正弦定理，结合三角函数知识可求．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知

1

2

bcsinA=

3

4

•2bccosA，
所以tanA=

3

，
所以A=

π

3

…（4分）
（Ⅱ）法一：由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6
由余弦定理得：36=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
（当且仅当b=c时等号成立）
∴（（b+c）²≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，
从而周长的取值范围是（12，18]…（12分）
法二：由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

6

sin π 3

=4

3

∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
∴b+c=4

3

（sinB+sinC）=4

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=4

3

(

3

2

sinB+

3

2

cosB)=12(

3

2

sinB+

1

2

cosB)=12sin(B+

π

6

)．
∵

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴6＜12sin(B+

π

6

)≤12，即6＜b+c≤12（当且仅当B=

π

3

时，等号成立）
从而周长的取值范围是（12，18]…（12分）

点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理、正弦定理化简求值，是一道中档题．