Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{12}$a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1+$\frac{1}{3}$（n≥2），则{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-2．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{12}$a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1+$\frac{1}{3}$（n≥2），即a_n=3a_n-1+4，变形为：a_n+2=3（a_n-1+2），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{12}$a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1+$\frac{1}{3}$（n≥2），即a_n=3a_n-1+4，变形为：a_n+2=3（a_n-1+2），
∴数列{a_n+2}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n+2=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2，n=1时也成立．
∴a_n=3ⁿ-2，
故答案为：a_n=3ⁿ-2．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．