Question

11．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{1}{2}$，F₁，F₂分别为左右焦点，B₁为短轴的一个端点，△B₁F₁F₂的面积为$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求椭圆E的方程
（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F₁，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，求$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$c，S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{3}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及弦长公式即可求得丨AC丨的值，将-$\frac{1}{k}$代入可得丨BD丨，由k²＞0，即可求得$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
△B₁F₁F₂的面积的面积S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，则bc=$\sqrt{3}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F（-1，0），由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，
设直线ACy=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
将-$\frac{1}{k}$代入上式可得丨BD丨=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
则$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{3{k}^{2}+4}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4}$•$\frac{1}{4{k}^{2}+3}$，
由k²＞0，则$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4}$•$\frac{1}{4{k}^{2}+3}$＜$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式．考查椭圆与函数最值得综合应用，考查计算能力，属于中档题．