Question

8．设F₁、F₂是双曲线x²-4y²=4的两个焦点，P在双曲线上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2．

Answer 1

分析 求得双曲线的标准方程，由双曲线的定义及勾股定理即可求得：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2．

解答 解：∵双曲线x²-4y²=4，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，则a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
双曲线的定义可知：||$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨|=4   ①，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2$\sqrt{5}$）²，②
由①②解得：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的标准方程，双曲线的定义，考查计算能力，属于中档题．